文理合卷，打造高考數學命題新形態

——2020年高考數學北京卷特點分析

　　2020年高考數學北京卷落實立德樹人根本任務，加強關鍵能力和素養的考查，通過“入口易、口徑寬，深入緩、出口難”做好文理合卷，形成“一個中心，三個基本點，五條路徑”的評價體係。即以立德樹人為中心；以知識思想、能力素養、應用文化為三個基本點；以優化試卷結構、精選試題素材、科學設計試題內容、創新試題設問方式、凸顯試題發展功能為五條實施的路徑。

一、以立德樹人為命題的中心

　　北京卷命題以立德樹人為根本，突出試題的育人價值。如第10題關注數學史上具有裏程碑意義的無理數 ，在中國傳統的“割圓術”基礎上介紹數學家阿爾·卡西的計算方法，樹立文化自信，進行價值觀的滲透；第15題關注現實生活中的環境汙染問題，引導學生關注民生，樹立有責任的公民意識。

　　北京卷繼續堅持對“四具備”人才的考查。如第9題，考查的是三角函數的知識，需要細致的觀察、嚴謹的推理和高度概括整合，找出角與三角函數值之間的關係；第20題的第（2）問，需要學生在計算過程中，一絲不苟，嚴謹求實的精神。

　　總之，北京卷通過設置不同的問題情境，體現高考的育人功能。

二、以知識思想、能力素養、應用文化為命題的三個基本點

　　數學是自然科學的基礎，也是重大技術創新發展的基礎；而數學實力往往影響著國家實力。北京卷以知識思想、能力素養和應用文化為命題的三個基本點，力圖把學生的數學真實實力考出來。

　　1. 突出對主幹知識和重要思想的考查

　　北京卷突出考查主幹知識內容，強調通性通法。如集合、複數、向量、函數、三角函數、立體幾何、解三角形、統計與概率、函數與導數、圓錐曲線等主要板塊的主幹內容進行重點考查，充分體現了對數學知識考查的基礎性、全麵性和綜合性。

　　數學基本思想方法是數學知識在更高層次的抽象與概括。北京卷第5，6，10，15題考查數形結合的思想；第8，19題考查函數與方程的思想；第10，13，16，21題考查化歸與轉化思想；第18題考查或然與必然的思想；第19，21題考查分類與整合的思想。

　　2. 突出對數學關鍵能力和數學學科素養的考查

　　北京卷突出對數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析六大素養的綜合考查。如第15題汙水治理問題，主要考查學生的抽象概括、直觀想象能力。第18題是考查學生數據分析和數學建模的素養。北京卷設計現實性和綜合性問題，在現實情境中考查學生核心素養的發展水平。

　　3. 突出對數學應用和文化的考查

　　北京卷突出對數學應用和文化的考查。數學應用考查方麵，北京卷關注社會，關注學生發展，引導學生運用所學數學知識解決生活實際問題。如第15題，選取具有時代特色的環境治理為情境創設數學問題，考查學生身邊的數學；第18題考查概率統計知識在數學和生活中的應用，使學生體會到數學知識與現實生活息息相關。

　　北京卷進一步加強數學文化的考查，增強文化性。如第10題關注無理數 的兩種計算方法：中國傳統的“割圓術”和數學家阿爾·卡西的求解方法。既弘揚了中國傳統文化，又引導學生學習世界輝煌燦爛的數學文化。

三、助力文理合卷新高考落地的五條路徑

　　根據考試內容要求、考生群體變化、考生水平變化，北京卷在試題的文理合卷方麵，遵循“入口易、口徑寬，深入緩、出口難”的基本原則。通過優化試卷結構、精選試題素材、科學設計試題內容、創新試題設問方式、凸顯試題發展功能等方麵推進新高考的改革，打造高考數學命題新形態。

　　1. 優化試卷結構，推進文理合卷順利實施

　　在保持測試時長和總分不變的前提下，北京卷優化試卷的結構，調整了選擇題、填空題和解答題的數量和分值。選擇題由原來的8道變為10道，填空題由原來的6道變為5道。增加了主觀題的比例，主客觀題目比值為1.3:1。通過加強對主觀題的考查，為學生展現數學思維能力搭建了平台。

　　根據試題難度和要求，北京卷在試題的排列順序上也有所變化。如首次將立體幾何解答題放在解答題的第一題進行考查。這種嚐試增強了試題靈活性，為引導教學、防止題型固化、命題方式固化起到積極的作用。

　　在試卷難度控製上，為了增強文科傾向考生在數學學習上的獲得感，試題“入口易、口徑寬”，中低難度試題的分值占有一定的比例；為了繼續保持理科傾向考生在數學學習上的成就感，試題“深入緩、出口難”，沒有降低綜合創新題的難度，依然具有較強的挑戰性，並保持了較好的區分度。

　　2. 精選試題素材，貼近學生的真實生活

　　北京卷試題素材的選取真實、自然、合理。如第15題通過以汙水治理為背景設置題目，體現了十九大報告提出的“提供更多優質生態產品以滿足人民日益增長的優美生態環境需要”的要求；第18題通過活動方案支持度調查，體現了民主決策過程。材料源於社會、源於真實情境，考查學生分析和解決具有實際意義問題的能力。

　　3. 科學設計試題內容，回歸數學本質和學生的基礎

　　北京卷命題體現數學本質，遵循學生身心發展的規律。一是試題內容緊扣課標和教材，體現數學的本質，引導教學回歸數學本質，回歸學生的基礎。如第10題根據教材中提到的“割圓術”的部分思想改編而成，第16，17題都是立體幾何和三角部分的基礎性問題。二是試題具有豐富的問題梯度，符合學生的認知規律。如第12，13題，都是設置兩空，第一空為第二空適當做鋪墊。如第18題，學生在解決了第（1）問後，就會為第（2）問的解答提供基礎和台階。試卷通過“多問把關”“多題把關”等方式，為不同水平的考生搭建了施展才華的舞台。

　　4. 創新試題呈現方式，力求考出具有不同專業傾向學生的真實水平

　　北京卷在試題上進行適度創新，增強試題的選擇性和開放性。

　　一是設計條件或結論開放、解題方法多樣、答案不唯一的試題。如第14題，要求學生給出滿足條件的一個常數值，試題答案不唯一。學生需要根據已有的信息進行猜想、探究和推理，從而得出結論。

　　二是設計分層賦分試題。第15題汙水治理問題，從不同角度設置了4個選項，其中3個是正確的。

　　三是設計了結構不良問題，需要學生自己選擇適當的條件進行解決。如第17題的設問具有開放性，學生需要選擇條件①或條件②，用餘弦定理或正弦定理去求解三角形。兩個問題需要的知識和方法有所不同，考查具有不同專業傾向的學生真實水平。

　　5. 凸顯試題的價值功能，為學生的終身發展打基礎

　　北京卷的命題，不僅體現人才的選拔功能，而且還引導學生去探索，應用數學知識去解決職場與生活中的實際問題。

　　如第18題，以學生熟悉的學校生活為背景來設計，重點考查抽樣，樣本估計總體，總體的概率推斷。第（1）問考查 “樣本估計總體”的思想，現實生活中需要對總體做一些判斷，比如兩個男學生是否同時支持該方案的概率，或者更複雜的群體（如第（2）問中的群體）的支持度。除性別外，第（3）問考查不同年級的支持情況。作為校方，為了提高學生的支持度，需要加強對高年級的學生宣傳和方案完善。問題引導學生積極參與到學校的各項活動和決策中，這為學生未來的職業發展奠定了基礎。

　　高考具有發展性功能，北京卷在促進學生數學的可持續思考中起到重要的作用。第21題需要學生運用逆向思維、歸納、分類討論、反證法、最小數原理等數學思考方法，並能用數學的語言邏輯，嚴謹地寫出證明過程。考查學生的一般化和概括遷移能力，有助於引導學生從做題到做事，為未來進一步學習奠定良好的基礎。

　　北京卷引導教學在六個方麵“下功夫”，即在主幹知識的掌握上下功夫；在數學學科本質的理解上下功夫；在數學思想方法的領悟上下功夫；在數學應用探究上下功夫；在創新思維形成上下功夫；在數學素養的養成上下功夫。

　　2020年是文理合卷的第一年，疫情給高考命題帶來了新的問題和挑戰。北京卷以立德樹人為中心，著力於知識方法，能力素養，文化應用的考查，依據“入口易、口徑寬，深入緩、出口難”“多問把關”“多題把關”等基本原則進行文理合卷的設計，形成了“一個中心，三個基本點，五條路徑”的評價體係。引導教學在六個方麵“下功夫”， 即“在主幹知識的掌握上下功夫”“在數學學科本質的理解上下功夫”“在數學思想方法的領悟上下功夫”“在數學應用探究上下功夫”“在創新思維形成上下功夫”“在數學素養的養成上下功夫”。導向中學對“四具備”人才的培養，即“具備自覺的數量觀念的人”“具備嚴密推理邏輯的人”“具備高度抽象概括的人”“具備一絲不苟、精益求精作風的人”。2020年數學科高考命題落實新高考文理合卷要求、保持命題總體穩定的前提下，變中求穩，穩中求進，不忘教育初心，牢記高考改革的使命，引導中學遵循教育規律，助力學生德智體美勞的全麵發展。