2022年北京高考數學科目的考試已經結束了，北京教育考試院和北京教科院基教研中心的專家們對今年高考數學試卷進行了權威解析。

數學試卷整體分析

　　守正創新 推進高考改革邁上新台階

　　2022年高考數學北京卷堅持“以德為先，能力為重，全麵發展”的命題理念，穩妥推進新高考的改革，形成了“一個中心，兩個著力點，三個突出，四條路徑”的評價體係。

　　即以立德樹人為中心，以數學素養和創新能力為兩個著力點；突出對主幹知識、思想方法、問題解決能力的考查；通過優化試卷結構、創新呈現方式、精選試題素材，突出學科本質，達到落實高考育人的目的。

一個中心

　　立德樹人

　　北京卷命題堅持以立德樹人為根本任務，構建了引導學生德智體美勞全麵發展的考試內容體係。

　　第7題以國家速滑館“冰絲帶”綠色環保場館為背景，設置二氧化碳所處的狀態與溫度和壓強的關係圖，滲透德育教育。

　　第18題以學生熟悉的校運動會體育比賽為背景，重點考查統計學中關於數據的收集、估計、預測的基本方法和原理，滲透體育教育。

兩個著力點

　　數學素養、創新能力

一、數學素養

　　北京卷通過設計現實性和綜合性問題，實現對邏輯推理、直觀想象、數學運算、數學抽象、數學建模、數據分析六大素養的綜合考查。

　　針對邏輯推理，北京卷設計了至少5道題進行考查。如第15題，是以一個無窮正數數列來設置，考查數列的基本概念、研究數列的增減性、估計數列項的範圍、判斷數列是否為等比數列等。四個選項既考查合情推理，也考查演繹推理。

　　針對直觀想象，北京卷設計了至少4道題進行考查。如第9題，以正三棱錐為載體、以區域麵積為出口，考查空間想象能力。問題的本質是研究球麵和平麵相交所得圓的性質。

　　針對數學運算，北京卷設計了至少12道題進行考查。第16題，借助解三角形在考查二倍角公式、餘弦定理、三角形麵積公式等基礎知識的同時，考查學生運算過程的嚴謹性以及運算的靈活性。

　　針對數學抽象，北京卷設計了至少2道題進行考查。如第20題（Ⅲ），考查不等式恒成立問題，它的背景是二階導數大於0，即具有下凸性質的抽象函數在一定條件下都具有的結論。

　　此外，數學建模和數據分析也分別設置了不同的問題進行考查。

二、創新能力

　　北京卷設置創新和思維深刻的問題，考查學生的創新能力。如第20題（Ⅲ）和第21題，題目設計創新，考查學生多角度、深層次去理解數學本質。

　　如第20題（Ⅲ）二元函數不等式的證明這一創新的設問打破常規，需要學生固定一個變量，把動態的問題轉化為靜態，把二元的問題轉化為一元的問題去處理。考查學生將多元與一元，動態與靜態，變量與常量，高等與初等，等進行辯證思維的能力。

　　第21題屬於綜合題，綜合了新定義、集合論、歸納法、排除法、演繹證明等思想和方法，考查學生創新能力。

三個突出

　　主幹知識、思想方法、問題解決能力

　　一、突出對主幹知識的考查

　　2022年是北京實行新教材的第一年，北京卷基於數學課標，回歸教材，突出對主幹知識的考查，重點關注學生應知應會的內容，淡化機械記憶。重點考查了函數導數與不等式、三角函數與解三角形、平麵解析幾何、立體幾何、統計概率、數列、其他（集合、複數、二項式定理、充要條件、向量）這些主幹知識，充分體現了對數學知識考查的基礎性和全麵性。

　　同時，北京卷關注學生的不同發展水平，通過設置具有豐富梯度的問題，達到對數學知識的綜合考查。如第17題，第20題和21題，均設置多問，體現出層次性和綜合性。這不僅為不同能力的學生搭建了台階，而且也充分體現了數學課程標準中“不同的人在數學上得到不同的發展”的要求。

二、突出對數學思想方法的考查

　　北京卷從數學學科整體意義和思想價值的高度立意，有效檢測學生對數學基礎知識和基本思想方法的掌握。如第19題（Ⅱ）考查數形結合思想，第11和第14題考查了函數與方程思想，第10題體現的是化歸與轉化思想，第18題考查了概率統計的思想，第21題（Ⅲ）考查了分類討論思想。

三、突出對問題解決能力的考查

　　北京卷突出對數學應用和跨學科的考查，如第7題選取綠色冬奧會為情境創設數學問題。問題呈現了二氧化碳的三相圖，該圖可以使學生了解跨學科的知識。通過設置此問題，引導學生認識到現實生活中的環保問題，樹立有責任的公民意識。

　　第18題以體育鉛球比賽為背景，考查統計學中預測方法與步驟的全過程。在體育比賽，特別是國際比賽中，預測比賽結果是體育比賽中一個重要的研究方向和熱門話題，通過解決此問題，使學生體會到概率統計知識與現實生活的緊密聯係。

四條路徑

　　試卷結構、呈現方式、試題素材、數學本質

　　一、優化試卷結構，體現出基礎性和選拔性

　　北京卷進一步優化試卷的結構，首次將考查立體幾何的試題改為結構不良問題，以直三棱柱為背景考查線麵關係。給出的兩個等價條件，讓學生從位置和度量兩個方麵進行選擇。這種嚐試增強了試題靈活性，為引導教學、防止題型固化、命題方式固化起到積極的作用。

　　在試卷難度控製上，繼續保持試題的“入口易、口徑寬”，中低難度的試題仍保持了相當的比例。同時，綜合創新題依然具有較強的挑戰性，並保持了較好的區分度，如第20題第三問，第21題有三問。

二、改革試題呈現方式，體現試題的選擇性和開放性

　　北京卷通過創新題型，設計條件或結論開放、解題方法多樣、答案不唯一的試題等多種方式，體現試題的選擇性和開放性。

　　第14題通過含參的動區間分段函數來設計問題，按照0與1為分界點分三種情況對參數進行討論，考查學生思維的靈活性和多樣性。

　　第15題設置了一個無窮正數數列，考查數列的增減性、估計數列項的範圍、判斷數列是否為等比數列。解決此問題需要學生利用放縮的思想，遞減數列的定義，數列的下界，反證的思想等去推證和證偽，考查學生對於高階知識的理解和遷移的能力。

　　北京卷在命題技術和評分量表上進行持續探索。如設計分層賦分試題。優化了試題的區分和考查效果。

三、精選試題素材，體現數學與社會和學生生活的聯係

　　北京卷在試題素材的選取上真實、自然、合理。

　　如第7題的背景是 “冰絲帶”國家速滑館。場館采用二氧化碳跨臨界直冷製冰技術，碳排放趨近於零，體現了中國對於綠色冬奧的努力；

　　第18題設置鉛球比賽問題，源於國家規定如果成績達到9.5m以上，可以獲得國家“三級運動員”證書這樣的背景，所設計的問題符合現實。材料源於社會、源於真實情境，考查學生問題解決的能力。

四、關注數學本質，引導教學回歸課堂

　　北京卷命題體現數學本質，引導教學回歸課堂。

　　一是試題內容緊扣課標和教材，如第16題、第17題都是解三角形和立體幾何的基礎性問題，第19題、第20題是解析幾何和導數問題，這四道題所考查的知識都是高中的基礎知識，所使用的方法也是通性通法。

　　二是試題關注數學本質。如第10題以平麵幾何切入，研究向量的數量積問題，學生可以用多種方式解決（建立直角坐標係，轉化為直線和圓的位置關係問題求解；所求向量數量積最大的問題；三角函數的值域問題），考查學生對數學本質的理解。第20題和第21題分別考查導數和數列的本質，使學生從深層次去感悟數學的思想和方法。

　　總之，2022年高考數學繼續保持“入口易、口徑寬，深入緩、出口難”的特點，堅持“立德樹人、服務選才、引導教學”的命題指導原則，形成了“一個中心，兩個著力點，三個突出，四條路徑”的評價體係，導向中學對“四具備”人才的培養，即具備自覺的數量觀念的人、具備嚴密推理邏輯的人、具備高度抽象概括的人、具備一絲不苟、精益求精作風的人。

　　引導教學在六個方麵“下功夫”，即在主幹知識的掌握上下功夫、在數學學科本質的理解上下功夫、在數學思想方法的領悟上下功夫、在數學應用探究上下功夫、在創新思維形成上下功夫、在數學素養的養成上下功夫。助力學生德智體美勞全麵發展。

數學試卷試題分析

　　穩四基為本 以素養為魂

　　2022年高考北京數學試卷整體上符合國家課程標準要求，結合北京市高中數學教學的實際情況及學情特點，知識內容覆蓋全麵，突出主幹；情境問題設計多樣，指向數學素養。

　　相比於去年，在試卷結構上保持一致，依然是單項選擇題、填空題和解答題，每一部分題型的難度預設基本符合從易到難的分布；

　　在考查內容上基本保持一致，強調基礎性、綜合性。在試題的表述形式上，簡潔、規範，圖文準確並相互匹配，呈現方式及作答方式堅持多樣化，延續了北京數學試卷“大氣、平和”的特點。

　　命題的總體穩定有利於考生穩定心態，正常發揮，考出自己的數學真實水平。

一、創新問題情境，堅持素養導向

　　相比於去年，在試題的情境和設問上，適度變化，強調數學素養的發展。

　　如：第（16）題依然是解三角形問題，但是結構良好，對正弦定理和餘弦定理的考查回歸基礎，突出考查數學運算素養；

　　第（17）題依然是立體幾何問題，證明線麵平行以及求線麵角的設問也很熟悉，但是第二問的結構不良，需要在給出的兩個條件中選出一個作為已知，以確定側麵的形狀，考查學生思維的嚴謹性；

　　第（9）題以正三棱錐為載體，以集合語言描述題目的條件，涉及的計算並不複雜，突出考查直觀想象素養。

二．注重基礎知識，考查數學本質

　　試題重視考查數學的基礎知識和基本方法，重點考查主幹知識與核心概念。

　　如選擇題的前5道題和填空題前3道題，涉及內容都是基礎知識和基本方法，考查了集合、複數、直線與圓、函數概念、三角函數性質、函數定義域、雙曲線的性質等內容。這些試題涉及的知識點相對單一，試題情境和設問比較熟悉，考查的也是對基礎知識的掌握與理解，較為容易。

　　再如第（16）題的解三角形問題、第（19）題的直線與橢圓綜合問題等，考查的均是主幹知識與常規方法。

　　試題在體現知識考查的全麵性、基礎性和綜合性的同時，突出考查了學生分析問題和解決問題的能力，重點關注數學本質和思維品質的考查。

　　如：第（8）題二項式定理問題，既可以利用初中的公式展開，也可以賦值利用通解通法來解決；

　　第（10）題的背景是一個向量問題，考查了用代數知識解決幾何問題這個基本方法，體現了學生的數學思維水平；

　　第（20）題的利用導數知識解決函數綜合問題，充分的體現了導數的工具作用，對函數知識本質的理解有一定要求。

　　三、關注數學應用，考查實踐能力

　　試題關注數學知識和方法的靈活應用。實際應用問題關注學生的身邊事，體現了數學源於生活且高於生活，以及數學作為基礎學科的應用價值。

　　如：第（7）題以北京冬奧會上國家速滑館“冰絲帶”使用高效環保的二氧化碳跨臨界直冷製冰技術為背景，以圖形方式給出二氧化碳所處的狀態與溫度、壓強的關係，考查了學生讀圖、識圖、分析圖表數據、估值等數學應用能力；

　　第（18）題以學生熟悉的校運會鉛球比賽創設生活實踐情境，通過研究甲乙丙三位同學以往的比賽數據，考查學生在不同容量的樣本數據中，靈活運用概率統計知識分析問題和解決問題的能力，引導學生用數學的思考方式解決問題、認識世界。創新問題關注數學本質，體現數學的思維特點。

　　如：第（21）題以數列為載體，考查學生對新情境新知識的理解，讓學生在閱讀數學符號和認識新概念的基礎上，即時學習並創新應用，體現了獲取新知識的能力和創新意識。

　　縱觀整份試卷，保持了北京試卷基礎、綜合、靈活的特色，穩中求進。在突出對基礎知識、基本技能、基本活動經驗和基本思想方法考查的同時，突出對數學素養的考查，展現了數學學科的育人價值。這套試卷給不同能力水平的學生提供了展示的平台，對數學學科的日常教學及深化改革有積極的引導作用。

　　北辰（北京教育考試院）

　　孫秀平 正高級教師（北京市西城區教育研修學院）

　　趙慧娥 高級教師（北京教育學院石景山分院）

　　李青霞 高級教師（北京教育科學研究院）